Teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

¡Y Puedes Demostrarlo Tú Mismo!

Consigue papel y tijeras, y usa la siguiente animación como guía:
	Dibuja un triángulo rectángulo en el papel, dejando mucho espacio alrededor. Dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo) Dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la hipotenusa Dibuja líneas como en la animación, así: Recorta los trozos Colócalos de manera que puedas demostrar que el cuadrado grande tiene la misma área que los cuadrados en los otros lados juntos

Otra Demostración, Muy Simple

Aquí tienes una de las demostraciones más antiguas de que el cuadrado grande tiene la misma área que los otros cuadrados juntos.
	Mira la animación, y presta atención cuando se empiecen a mover los triángulos. Quizás quieras verla varias veces para entender bien lo que pasa. El triángulo violeta es el importante.

También tenemos una demostración sumando las áreas.

Nota histórica: aunque se llama Teorema de Pitágoras, ¡también lo conocían los matemáticos indios, griegos, chinos y babilonios antes de que él viviera!

comprobamos las medidas del tornillo con el vernier y comprobamos que sus medidas fueron:
                   altura:29.50
                   diametro: 5.27
                   hexágono: 10.99

Los puntos notables de un triángulo son:

Circuncentro
Incentro
Baricentro
Ortocentro
Circuncentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C .

Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

De lo anterior, concluímos:
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.
El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.


Propiedad 11:

A la vista de los dibujos anteriores, podemos enunciar la siguiente propiedad:
"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Incentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A ) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB , BC y CA..

Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.

De lo anterior, concluímos:
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO.
El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.


Propiedad 12:
"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo"


Baricentro

Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.



Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará por G.
Propiedad 13:"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"

Sin entrar en la demostración, que se sale fuera de los objetivos de este curso, sí que lo veremos gráficamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente.



Se han denotado por A', B', C', los puntos medios de los lados "a "=BC, "b "=AC y "c "=AB, respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto negro sin etiquetar.

A la vista de los anterior, se observa que:
GA = 2GA' (la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "a"=BC)
GB = 2GB' (la distancia de Baricentro al vértice B es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "b"=AC )
GC = 2GC' (la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "c"=AB )



Ortocentro

Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado circuncentro.



Ahora bien, si llamas A , B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A'B' , respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:


Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos.
La mediatriz del lado A'B' es la perpendicular a A'B' que pasa por su punto medio (C), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C,o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.



Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC.



Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir:
Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.
Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados.


Propiedad 14:"El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto"
"El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"


Propiedad 15:


El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.


El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro.


La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del baricentro al ortocentro.


Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro y Circuncentro) se llama RECTA DE EULER.