Teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

¡Y Puedes Demostrarlo Tú Mismo!

Consigue papel y tijeras, y usa la siguiente animación como guía:
	Dibuja un triángulo rectángulo en el papel, dejando mucho espacio alrededor. Dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo) Dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la hipotenusa Dibuja líneas como en la animación, así: Recorta los trozos Colócalos de manera que puedas demostrar que el cuadrado grande tiene la misma área que los cuadrados en los otros lados juntos

Otra Demostración, Muy Simple

Aquí tienes una de las demostraciones más antiguas de que el cuadrado grande tiene la misma área que los otros cuadrados juntos.
	Mira la animación, y presta atención cuando se empiecen a mover los triángulos. Quizás quieras verla varias veces para entender bien lo que pasa. El triángulo violeta es el importante.

También tenemos una demostración sumando las áreas.

Nota histórica: aunque se llama Teorema de Pitágoras, ¡también lo conocían los matemáticos indios, griegos, chinos y babilonios antes de que él viviera!

comprobamos las medidas del tornillo con el vernier y comprobamos que sus medidas fueron:
                   altura:29.50
                   diametro: 5.27
                   hexágono: 10.99

Los puntos notables de un triángulo son:

Circuncentro
Incentro
Baricentro
Ortocentro
Circuncentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C .

Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

De lo anterior, concluímos:
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.
El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.


Propiedad 11:

A la vista de los dibujos anteriores, podemos enunciar la siguiente propiedad:
"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Incentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A ) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB , BC y CA..

Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.

De lo anterior, concluímos:
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO.
El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.


Propiedad 12:
"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo"


Baricentro

Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.



Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará por G.
Propiedad 13:"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"

Sin entrar en la demostración, que se sale fuera de los objetivos de este curso, sí que lo veremos gráficamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente.



Se han denotado por A', B', C', los puntos medios de los lados "a "=BC, "b "=AC y "c "=AB, respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto negro sin etiquetar.

A la vista de los anterior, se observa que:
GA = 2GA' (la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "a"=BC)
GB = 2GB' (la distancia de Baricentro al vértice B es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "b"=AC )
GC = 2GC' (la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "c"=AB )



Ortocentro

Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado circuncentro.



Ahora bien, si llamas A , B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A'B' , respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:


Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos.
La mediatriz del lado A'B' es la perpendicular a A'B' que pasa por su punto medio (C), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C,o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.



Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC.



Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir:
Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.
Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados.


Propiedad 14:"El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto"
"El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"


Propiedad 15:


El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.


El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro.


La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del baricentro al ortocentro.


Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro y Circuncentro) se llama RECTA DE EULER.

Ángulos entre paralelas

En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.


Ángulos correspondientes Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 

se llaman ángulos correspondientes, y son congruentes.

 Ángulos alternos Son los que "fuera" de las paralelas fueran a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Son iguales entre sí; es decir miden lo mismo. 

 Alternos externos Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son congruentes.

 Alternos internos Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son congruentes.

 Ángulos congruentes entre paralelas Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes 

PROPIEDADES DE LAS FIGURAS PLANAS

A continuación proporcione información que contiene información referente a las propiedades de las figuras planas más comúnmente utilizadas.

El estudio de las figuras planas y también sus propiedades geométricas, comprende a todo tipo de polígonos en general, sean regulares o irregulares, como también el círculo. Su estudio comprende las relaciones entre líneas puntos y ángulos de los polígonos irregulares, los métodos para el dibujo de estas figuras y los métodos de cálculo de su superficie. Debemos tener en claro que un polígono irregular es aquel en el cual sus lados no son de igual longitud y que sus vértices no están contenidos dentro de una circunferencia. Mientras tanto un polígono regular es aquel que tiene todos los lados con una misma longitud y que también tiene todos los ángulos interiores de la misma medida. Veremos a continuación cuales son estas figuras planas.

El triángulo

Es una poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos, los cuales sumados da 180º. Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos, entonces a < b + c, b < a + c, c < a + b. con esto podemos deducir quela diferencia de dos lados es menor que el tercero. Veamos ahora un ejemplo:

Hay tres clases de triángulos atendiendo a sus lados. Un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales, un isósceles tiene dos lados iguales y el tercero desigual, un triángulo escaleno tiene los tres lados desiguales. En cuanto a los ángulos, un triángulo acutángulo tiene sus tres ángulos agudos, un triangulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º) un obtusángulo tiene un ángulo obtuso o sea un ángulo mayor a 90º.

El cuadrado

Un cuadrado es una poligonal cerrada de cuatro lados y cuatro ángulos iguales. Cualquier polígono de cuatro lados (cuadrilátero) tiene la condición de que sus cuatro ángulos interiores suman 360º, y cada uno de ellos es un ángulo recto. Como polígono regular se consideran algunas propiedades geométricas de sus líneas y puntos. A continuación vemos lo que es un cuadrado:

El rectángulo

Un rectángulo es también una poligonal cerrada. Todos los angulos interiores de un rectángulo son rectos, pero los lados del rectángulo son iguales paralelamente de a dos, por lo cual podemos decir que un rectángulo es un caso particular de paralelogramo, veamos:

El rombo

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales y paralelos dos a dos, también sus ángulos son iguales dos a dos. Las rectas que unen cada uno de los vértices con el vértice opuesto se llaman diagonales, la mayor de ellas es la diagonal mayor y la menor es la diagonal menor. Si se cortan las dos diagonales en el rombo se forma un ángulo de 90º. Aquí les dejo un ejemplo:

El trapecio

Es un polígono de cuatro lados dos de sus lados son paralelos, la suma de sus ángulos es de 360º. Los lados paralelos se llaman base mayor (B) y base menor (B). Un trapecio es isósceles si sus lados no paralelos son iguales, si esto es así dos de sus ángulos interiores serán agudos y los otros dos obtusos. Un trapecio será rectángulo si uno de los lados que no es paralelo es perpendicular a los paralelos, siendo así tendrá dos ángulos rectos uno obtuso y uno agudo. Como último punto diremos que un trapecio es escaleno si no es rectángulo ni isósceles.

El paralelogramo

Este un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos, también sus ángulos son iguales dos a dos y suman los cuatro 360º. Algunos casos particulares de paralelogramos son el cuadrado, el rectángulo y el rombo. La figura que mostramos a continuación es un romboide, el cual es el caso general de paralelogramo.

Polígonos regulares

Un polígono regular es aquel que como ya dijimos tiene sus ángulos interiores y sus lados iguales. Veamos a continuación cuales serían:

 El círculo

El círculo es una figura plana que está delimitada por la circunferencia. A los efectos geométricos equivale a un polígono regular que tiene infinitos lados. En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos, tales como la circunferencia, el centro que es el punto en el cual equidistan todos los puntos de la circunferencia o el radio, que corresponde a la medida de distancia entre el centro y la circunferencia. También hay otras propiedades tales como el diámetro, la secante, la tangente, el arco la flecha y el sector.

Características, elementos y propiedades del círculo
Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia
Cuerda
Centro
Diámetro
Tangente
Arco
Secante
Es el segmento de recta que une dos puntos.
Es un punto en medio del círculo
El diámetro es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia
Es la recta que toca a la circunferencia en un punto
Es una parte de la circunferencia
Es la recta
que corta a la circunferencia en dos puntos
Semicircunferencia
Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunfencia
Ángulo semi inscrito
Ángulo Inscrito
Es el ángulo convexo que tiene su vértice en una circunferencia, las semirrectas que constituyen sus lados son secantes o cuerdas de la misma.
Ángulo central
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
El vértice de ángulo semi inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

FORMAS PARA ÁREAS Y VOLÚMENES PARA FIGURAS GEOMÉTRICAS

Herón de Alejandría: Área de un Triángulo

Físico y matemático griego que vivió en Alejandría en una época no exactamente determinada de los siglos I y II d. de C. Como matemático, aportó modestas contribuciones a la ciencia pura; sin embargo, como cultivador de las ciencias aplicadas fue, en la época tolemaica, el científico más ilustre después de Claudio Tolomeo.

Ha sido difícil determinar cuáles de los numerosos textos llegados hasta nosotros bajo su nombre pertenecen, en realidad, al Herón alejandrino de quien nos habla Pappo; los que hoy se consideran suyos están reunidos en una edición crítica de cinco tomos, en griego o en la versión árabe, y con la traducción alemana (Leipzig, 1899-1914). La mayor parte de sus obras están dedicadas a la física aplicada y a la geometría práctica.

La llamada fórmula de Herón permite calcular el área de un triángulo a partir de las medidas de sus lados. Coxeter indica que la fórmula ya era conocida por Arquímedes.

Usando el conocido teorema del coseno: $a^2 = b^2+ c^2- 2 b c cos(A)$, podemos calcular $cos(A) = \frac{b^2 + c^2- a^2}{2 b c}$.
A partir del valor del coseno se puede calcular el valor del seno usando la relación 

fundamental de trigonometría ($sen^2(A)+cos^2(A) = 1$): $sen^2(A) = \frac{-a^4-b^4 - c^4 + 2 a^2b^2+2 b^2 c^2+2 c^2 a^2}{4 b^2 c^2}$

También es conocido que el área de un triángulo se puede obtener a partir de las longitudes de dos de sus lados y del valor del ángulo que determinan esos dos lados.
En la imagen siguiente: $\text{Área}= \frac{1}{2}c \times h $. En el triángulo rectángulo AHC tenemos: $h=b sen(A)$ y de aquí y de la igualdad anterior se deduce la célebre fórmula:
$\text{Área}= \frac{1}{2}b \times c \times sen(A) $

Utilizando los resultados anteriores podemos escribir: $\text{Área}= \frac{1}{2}b \times c \sqrt{\frac{-a^4-b^4 - c^4 + 2 a^2b^2+2 b^2 c^2+2 c^2 a^2}{4 b^2 c^2}}$
$\text{Área}= \frac{1}{4 }\sqrt{-a^4-b^4 - c^4 + 2 a^2b^2+2 b^2 c^2+2 c^2 a^2} $
$\text{Área}= \frac{1}{4 }\sqrt{ (a + b+ c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} $
Llamando $s$ al semiperímetro:
$\text{Área}= \frac{1}{4 }\sqrt{ 2 s(2s-2a)(2s-2b)(2s - 2c)} $, y, por último obtenemos la célebre fórmula de Herón:
$\text{Área}= \sqrt{ s(s- a)(s - b)( s - c)}$

USO DEL RECTÁNGULO ÁUREO EN ARQUITECTURA, ESCULTURA Y PINTURA

Todo Empezó con Leonardo Pisano y el Número Áureo

Leonardo Pisano, también conocido como Fibonacci, fue un famoso matemático italiano que difundió por Europa el sistema de numeración árabe (1, 2, 3...) con base decimal y con un valor nulo (el cero). Pero el gran descubrimiento de Fibonacci fue la Sucesión de Fibonacci que, posteriormente, dió lugar a la proporción áurea.

¿Qué es la Sucesión de Fibonacci? Se trata de una serie númerica: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Es una serie infinita en la que la suma de dos números consecutivos siempre da como resultado el siguiente número (1+1=2; 13+21=34). La relación que existe entre cada pareja de números consecutivos (es decir, si dividimos cada número entre su anterior) se aproxima al número áureo (1,618034) que se identifica con la letra Phi () del abecedario griego.

Los Números Están Bien, Pero a Mi me Tiran Más las Imágenes

Bien, pues apliquemos todo esto al mundo visual. Creemos un rectángulo cuyos lados midan dos de los números de la serie de Fibonacci:

Y ahora vamos a dividirlo siguiendo la serie numérica:

Si dibujamos una línea que una todos estos pequeños recuadros, quedaría algo parecido a esto:

La espiral resultante (conocida como Espiral de Oro) está permanentemente presente en la naturaleza: en las semillas de un girasol, en las conchas marinas... Componer una imagen siguiendo esta espiral nos resulta agradable visualmente porque las proporciones que se obtienen nos parecen naturales.

Es importante tener en cuenta que las fotografías no acostumbran a tener unas proporciones áureas (y si se trata de cámaras de medio formato, cuyos sensores suelen ser cuadrados, todavía menos) así que la espiral de Fibonacci debe ser sólo una guía que te ayude a componer y nunca una regla intocable que te cierre puertas creativas. También es cierto que muchas veces, componemos según la espiral de oro sin ser conscientes de ello, simplemente porque la composición que hemos creado nos ha parecido atractiva visualmente. La imagen anterior es un ejemplo de ello, pues la imagen se tomó y luego, para la redacción de este artículo, se le añadió la espiral, momento en el que mi di cuenta de que había seguido la proporción áurea en su composición, sin ni siquiera percatarme de ello. Siguiendo la proporción áurea puedes tener una idea de dónde situar el horizonte o los puntos más importantes de tu fotografía. Lo importante es ser consciente de que no es una ley que se deba cumplir a rajatabla y de que en absoluto asegura la calidad de la imagen final. A veces puede salir una fotografía más atractiva visualmente rompiendo esta regla que siguiéndola, todo es cuestión de probar. Un claro ejemplo de ello son las imágenes simétricas.

Y la Regla de los Tercios, ¿cuándo aparece?

Ya habrás imaginado que todo esto te lo estoy contando con un fin y que, seguramente, ese fin sea llegar al origen de la Regla de los Tercios. Bien, pues ha llegado ese momento. Seguimos con el cuadro que hemos utilizado anteriormente. Lo que hacemos ahora es colocar cuatro espirales en el mismo rectángulo. Colocándolas de manera que se inicie una espiral en cada una de las cuatro esquinas del recuadro:

¿Qué? ¿Te suena lo que ves? Vamos a marcar en rojo el centro de las espirales:

Señoras y señores, ¡aquí tenemos nuestra querida Regla de los Tercios! Así que ha quedado demostrado que las matemáticas nos ayudan a componer fotográficamente. Con este dibujo, además, se ven de manera muy gráfica y evidente, las zonas con más interés visual: las esquinas. Como se puede apreciar en el esquema, el centro de la imagen es la zona "menos interesante" de un encuadre (hablamos en general; como ya hemos descrito anteriormente, existen fotografías que rompen por completo esta concepción y, aún así, son muy atractivas visualmente.)

Como has visto, la regla de los tercios es una versión de la proporción áurea; en general, resulta más sencillo componer una fotografía con la regla de los tercios en mente (o superpuesta en la pantalla de la cámara a modo de guía) que con la Espiral de Oro.

¿Dónde Ubico mis Sujetos?

Si decides utilizar la Regla de los Tercios, sabrás que debes colocarlos en uno de los puntos fuertes. Pero ¿en cuál de ellos? ¿Y si no quieres utilizar los Tercios? Depende de lo que quieras transmitir, unos puntos te ayudarán más que otros.

Lo importante es que en la composición de tus fotografías dejes el aire que el sujeto necesite para realizar su movimiento. Si debe moverse, déjale espacio por delante. Si ya se ha movido, el espacio debe estar detrás. Si debe caer, por abajo. Si quieres transmitir que el sujeto se encuentra atrapado por algo, cierra el plano para que "se ahogue" y si quieres mostrarlo libre, sitúalo en una composición muy abierta, en la que el aire lo rodee.

Si, además de todo esto, añades en la composición líneas que acompañen todo lo que intentas transmitir con la composición, tu fotografía será, probablemente, un éxito: hasta la infinidad se ha comentado la importancia de las líneas dentro de una composición fotográfica pero es especialmente importante en el caso de las líneas diagonales que aportan a la fotografía un alto grado de dinamismo y, además, ayudan al espectador a leer la imagen. Ten en cuenta que, en el mundo occidental, el ojo está acostumbrado a leer empezando por la esquina superior izquierda y terminar por la inferior derecha, así que si una imagen tiene en su composición líneas que sigan esta dirección, la lectura de la imagen será muy rápida (como si fuera cuesta abajo). En cambio, si utilizamos líneas diagonales ascendentes, de la esquina inferior izquierda a la superior derecha, la lectura será más pesada (como si fuera cuesta arriba).

Por supuesto, todo esto es sólo una guía orientativa y todo lo antes descrito es completamente subjetivo. Dependiendo del sujeto, del lugar, de la luz que utilices, del ángulo de visión, etc. puedes conseguir el mismo efecto con una composición distinta. Es cuestión de saber mirar y de tener reflejos a la hora de componer las imágenes para que nuestras fotografías mejoren sustancialmente. Las reglas de composición no son leyes inmutables, cada imagen y cada situación son únicas e, incluso, cada fotógrafo puede utilizarlas de una manera distinta y con resultados muy dispares.

La Regla de los Tercios vs la Simetría Dinámica

No te creas que todo se acaba en la Regla de los Tercios. Hay gente que opina que los puntos de esta regla, generados por la sección áurea, son demasiado regulares y estables visualmente para que llamen la atención a aquellas personas que ven las fotos y que, de hecho, las fotos más interesantes no son las que tienen los elementos situados exactamente en los puntos que define la Regla de los Tercios, sino aquellas que desplazan los elementos ligeramente para que llamen la atención más al receptor. Para ello, se ha desarrollado la regla de la Simetría Dinámica, que está explicada en este artículo. Básicamente, consiste en trazar unas diagonales situadas en ángulo recto con las diagonales principales del encuadre para que salgan unos nuevos puntos de interés:

Los puntos resultantes de esta técnica son muy cercanos a los de la Regla de los Tercios pero al no ser tan "perfectos" y estables, llaman más la atención, generan más tensión visual y, por lo tanto, las imágenes que siguen esta regla de composición pueden resultar más atractivas visualmente.