Ángulos entre paralelas

En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.


Ángulos correspondientes Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 

se llaman ángulos correspondientes, y son congruentes.

 Ángulos alternos Son los que "fuera" de las paralelas fueran a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Son iguales entre sí; es decir miden lo mismo. 

 Alternos externos Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son congruentes.

 Alternos internos Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son congruentes.

 Ángulos congruentes entre paralelas Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes 

PROPIEDADES DE LAS FIGURAS PLANAS

A continuación proporcione información que contiene información referente a las propiedades de las figuras planas más comúnmente utilizadas.

El estudio de las figuras planas y también sus propiedades geométricas, comprende a todo tipo de polígonos en general, sean regulares o irregulares, como también el círculo. Su estudio comprende las relaciones entre líneas puntos y ángulos de los polígonos irregulares, los métodos para el dibujo de estas figuras y los métodos de cálculo de su superficie. Debemos tener en claro que un polígono irregular es aquel en el cual sus lados no son de igual longitud y que sus vértices no están contenidos dentro de una circunferencia. Mientras tanto un polígono regular es aquel que tiene todos los lados con una misma longitud y que también tiene todos los ángulos interiores de la misma medida. Veremos a continuación cuales son estas figuras planas.

El triángulo

Es una poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos, los cuales sumados da 180º. Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos, entonces a < b + c, b < a + c, c < a + b. con esto podemos deducir quela diferencia de dos lados es menor que el tercero. Veamos ahora un ejemplo:

Hay tres clases de triángulos atendiendo a sus lados. Un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales, un isósceles tiene dos lados iguales y el tercero desigual, un triángulo escaleno tiene los tres lados desiguales. En cuanto a los ángulos, un triángulo acutángulo tiene sus tres ángulos agudos, un triangulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º) un obtusángulo tiene un ángulo obtuso o sea un ángulo mayor a 90º.

El cuadrado

Un cuadrado es una poligonal cerrada de cuatro lados y cuatro ángulos iguales. Cualquier polígono de cuatro lados (cuadrilátero) tiene la condición de que sus cuatro ángulos interiores suman 360º, y cada uno de ellos es un ángulo recto. Como polígono regular se consideran algunas propiedades geométricas de sus líneas y puntos. A continuación vemos lo que es un cuadrado:

El rectángulo

Un rectángulo es también una poligonal cerrada. Todos los angulos interiores de un rectángulo son rectos, pero los lados del rectángulo son iguales paralelamente de a dos, por lo cual podemos decir que un rectángulo es un caso particular de paralelogramo, veamos:

El rombo

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales y paralelos dos a dos, también sus ángulos son iguales dos a dos. Las rectas que unen cada uno de los vértices con el vértice opuesto se llaman diagonales, la mayor de ellas es la diagonal mayor y la menor es la diagonal menor. Si se cortan las dos diagonales en el rombo se forma un ángulo de 90º. Aquí les dejo un ejemplo:

El trapecio

Es un polígono de cuatro lados dos de sus lados son paralelos, la suma de sus ángulos es de 360º. Los lados paralelos se llaman base mayor (B) y base menor (B). Un trapecio es isósceles si sus lados no paralelos son iguales, si esto es así dos de sus ángulos interiores serán agudos y los otros dos obtusos. Un trapecio será rectángulo si uno de los lados que no es paralelo es perpendicular a los paralelos, siendo así tendrá dos ángulos rectos uno obtuso y uno agudo. Como último punto diremos que un trapecio es escaleno si no es rectángulo ni isósceles.

El paralelogramo

Este un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos, también sus ángulos son iguales dos a dos y suman los cuatro 360º. Algunos casos particulares de paralelogramos son el cuadrado, el rectángulo y el rombo. La figura que mostramos a continuación es un romboide, el cual es el caso general de paralelogramo.

Polígonos regulares

Un polígono regular es aquel que como ya dijimos tiene sus ángulos interiores y sus lados iguales. Veamos a continuación cuales serían:

 El círculo

El círculo es una figura plana que está delimitada por la circunferencia. A los efectos geométricos equivale a un polígono regular que tiene infinitos lados. En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos, tales como la circunferencia, el centro que es el punto en el cual equidistan todos los puntos de la circunferencia o el radio, que corresponde a la medida de distancia entre el centro y la circunferencia. También hay otras propiedades tales como el diámetro, la secante, la tangente, el arco la flecha y el sector.

Características, elementos y propiedades del círculo
Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia
Cuerda
Centro
Diámetro
Tangente
Arco
Secante
Es el segmento de recta que une dos puntos.
Es un punto en medio del círculo
El diámetro es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia
Es la recta que toca a la circunferencia en un punto
Es una parte de la circunferencia
Es la recta
que corta a la circunferencia en dos puntos
Semicircunferencia
Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunfencia
Ángulo semi inscrito
Ángulo Inscrito
Es el ángulo convexo que tiene su vértice en una circunferencia, las semirrectas que constituyen sus lados son secantes o cuerdas de la misma.
Ángulo central
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
El vértice de ángulo semi inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

FORMAS PARA ÁREAS Y VOLÚMENES PARA FIGURAS GEOMÉTRICAS

Herón de Alejandría: Área de un Triángulo

Físico y matemático griego que vivió en Alejandría en una época no exactamente determinada de los siglos I y II d. de C. Como matemático, aportó modestas contribuciones a la ciencia pura; sin embargo, como cultivador de las ciencias aplicadas fue, en la época tolemaica, el científico más ilustre después de Claudio Tolomeo.

Ha sido difícil determinar cuáles de los numerosos textos llegados hasta nosotros bajo su nombre pertenecen, en realidad, al Herón alejandrino de quien nos habla Pappo; los que hoy se consideran suyos están reunidos en una edición crítica de cinco tomos, en griego o en la versión árabe, y con la traducción alemana (Leipzig, 1899-1914). La mayor parte de sus obras están dedicadas a la física aplicada y a la geometría práctica.

La llamada fórmula de Herón permite calcular el área de un triángulo a partir de las medidas de sus lados. Coxeter indica que la fórmula ya era conocida por Arquímedes.

Usando el conocido teorema del coseno: $a^2 = b^2+ c^2- 2 b c cos(A)$, podemos calcular $cos(A) = \frac{b^2 + c^2- a^2}{2 b c}$.
A partir del valor del coseno se puede calcular el valor del seno usando la relación 

fundamental de trigonometría ($sen^2(A)+cos^2(A) = 1$): $sen^2(A) = \frac{-a^4-b^4 - c^4 + 2 a^2b^2+2 b^2 c^2+2 c^2 a^2}{4 b^2 c^2}$

También es conocido que el área de un triángulo se puede obtener a partir de las longitudes de dos de sus lados y del valor del ángulo que determinan esos dos lados.
En la imagen siguiente: $\text{Área}= \frac{1}{2}c \times h $. En el triángulo rectángulo AHC tenemos: $h=b sen(A)$ y de aquí y de la igualdad anterior se deduce la célebre fórmula:
$\text{Área}= \frac{1}{2}b \times c \times sen(A) $

Utilizando los resultados anteriores podemos escribir: $\text{Área}= \frac{1}{2}b \times c \sqrt{\frac{-a^4-b^4 - c^4 + 2 a^2b^2+2 b^2 c^2+2 c^2 a^2}{4 b^2 c^2}}$
$\text{Área}= \frac{1}{4 }\sqrt{-a^4-b^4 - c^4 + 2 a^2b^2+2 b^2 c^2+2 c^2 a^2} $
$\text{Área}= \frac{1}{4 }\sqrt{ (a + b+ c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} $
Llamando $s$ al semiperímetro:
$\text{Área}= \frac{1}{4 }\sqrt{ 2 s(2s-2a)(2s-2b)(2s - 2c)} $, y, por último obtenemos la célebre fórmula de Herón:
$\text{Área}= \sqrt{ s(s- a)(s - b)( s - c)}$

USO DEL RECTÁNGULO ÁUREO EN ARQUITECTURA, ESCULTURA Y PINTURA

Todo Empezó con Leonardo Pisano y el Número Áureo

Leonardo Pisano, también conocido como Fibonacci, fue un famoso matemático italiano que difundió por Europa el sistema de numeración árabe (1, 2, 3...) con base decimal y con un valor nulo (el cero). Pero el gran descubrimiento de Fibonacci fue la Sucesión de Fibonacci que, posteriormente, dió lugar a la proporción áurea.

¿Qué es la Sucesión de Fibonacci? Se trata de una serie númerica: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Es una serie infinita en la que la suma de dos números consecutivos siempre da como resultado el siguiente número (1+1=2; 13+21=34). La relación que existe entre cada pareja de números consecutivos (es decir, si dividimos cada número entre su anterior) se aproxima al número áureo (1,618034) que se identifica con la letra Phi () del abecedario griego.

Los Números Están Bien, Pero a Mi me Tiran Más las Imágenes

Bien, pues apliquemos todo esto al mundo visual. Creemos un rectángulo cuyos lados midan dos de los números de la serie de Fibonacci:

Y ahora vamos a dividirlo siguiendo la serie numérica:

Si dibujamos una línea que una todos estos pequeños recuadros, quedaría algo parecido a esto:

La espiral resultante (conocida como Espiral de Oro) está permanentemente presente en la naturaleza: en las semillas de un girasol, en las conchas marinas... Componer una imagen siguiendo esta espiral nos resulta agradable visualmente porque las proporciones que se obtienen nos parecen naturales.

Es importante tener en cuenta que las fotografías no acostumbran a tener unas proporciones áureas (y si se trata de cámaras de medio formato, cuyos sensores suelen ser cuadrados, todavía menos) así que la espiral de Fibonacci debe ser sólo una guía que te ayude a componer y nunca una regla intocable que te cierre puertas creativas. También es cierto que muchas veces, componemos según la espiral de oro sin ser conscientes de ello, simplemente porque la composición que hemos creado nos ha parecido atractiva visualmente. La imagen anterior es un ejemplo de ello, pues la imagen se tomó y luego, para la redacción de este artículo, se le añadió la espiral, momento en el que mi di cuenta de que había seguido la proporción áurea en su composición, sin ni siquiera percatarme de ello. Siguiendo la proporción áurea puedes tener una idea de dónde situar el horizonte o los puntos más importantes de tu fotografía. Lo importante es ser consciente de que no es una ley que se deba cumplir a rajatabla y de que en absoluto asegura la calidad de la imagen final. A veces puede salir una fotografía más atractiva visualmente rompiendo esta regla que siguiéndola, todo es cuestión de probar. Un claro ejemplo de ello son las imágenes simétricas.

Y la Regla de los Tercios, ¿cuándo aparece?

Ya habrás imaginado que todo esto te lo estoy contando con un fin y que, seguramente, ese fin sea llegar al origen de la Regla de los Tercios. Bien, pues ha llegado ese momento. Seguimos con el cuadro que hemos utilizado anteriormente. Lo que hacemos ahora es colocar cuatro espirales en el mismo rectángulo. Colocándolas de manera que se inicie una espiral en cada una de las cuatro esquinas del recuadro:

¿Qué? ¿Te suena lo que ves? Vamos a marcar en rojo el centro de las espirales:

Señoras y señores, ¡aquí tenemos nuestra querida Regla de los Tercios! Así que ha quedado demostrado que las matemáticas nos ayudan a componer fotográficamente. Con este dibujo, además, se ven de manera muy gráfica y evidente, las zonas con más interés visual: las esquinas. Como se puede apreciar en el esquema, el centro de la imagen es la zona "menos interesante" de un encuadre (hablamos en general; como ya hemos descrito anteriormente, existen fotografías que rompen por completo esta concepción y, aún así, son muy atractivas visualmente.)

Como has visto, la regla de los tercios es una versión de la proporción áurea; en general, resulta más sencillo componer una fotografía con la regla de los tercios en mente (o superpuesta en la pantalla de la cámara a modo de guía) que con la Espiral de Oro.

¿Dónde Ubico mis Sujetos?

Si decides utilizar la Regla de los Tercios, sabrás que debes colocarlos en uno de los puntos fuertes. Pero ¿en cuál de ellos? ¿Y si no quieres utilizar los Tercios? Depende de lo que quieras transmitir, unos puntos te ayudarán más que otros.

Lo importante es que en la composición de tus fotografías dejes el aire que el sujeto necesite para realizar su movimiento. Si debe moverse, déjale espacio por delante. Si ya se ha movido, el espacio debe estar detrás. Si debe caer, por abajo. Si quieres transmitir que el sujeto se encuentra atrapado por algo, cierra el plano para que "se ahogue" y si quieres mostrarlo libre, sitúalo en una composición muy abierta, en la que el aire lo rodee.

Si, además de todo esto, añades en la composición líneas que acompañen todo lo que intentas transmitir con la composición, tu fotografía será, probablemente, un éxito: hasta la infinidad se ha comentado la importancia de las líneas dentro de una composición fotográfica pero es especialmente importante en el caso de las líneas diagonales que aportan a la fotografía un alto grado de dinamismo y, además, ayudan al espectador a leer la imagen. Ten en cuenta que, en el mundo occidental, el ojo está acostumbrado a leer empezando por la esquina superior izquierda y terminar por la inferior derecha, así que si una imagen tiene en su composición líneas que sigan esta dirección, la lectura de la imagen será muy rápida (como si fuera cuesta abajo). En cambio, si utilizamos líneas diagonales ascendentes, de la esquina inferior izquierda a la superior derecha, la lectura será más pesada (como si fuera cuesta arriba).

Por supuesto, todo esto es sólo una guía orientativa y todo lo antes descrito es completamente subjetivo. Dependiendo del sujeto, del lugar, de la luz que utilices, del ángulo de visión, etc. puedes conseguir el mismo efecto con una composición distinta. Es cuestión de saber mirar y de tener reflejos a la hora de componer las imágenes para que nuestras fotografías mejoren sustancialmente. Las reglas de composición no son leyes inmutables, cada imagen y cada situación son únicas e, incluso, cada fotógrafo puede utilizarlas de una manera distinta y con resultados muy dispares.

La Regla de los Tercios vs la Simetría Dinámica

No te creas que todo se acaba en la Regla de los Tercios. Hay gente que opina que los puntos de esta regla, generados por la sección áurea, son demasiado regulares y estables visualmente para que llamen la atención a aquellas personas que ven las fotos y que, de hecho, las fotos más interesantes no son las que tienen los elementos situados exactamente en los puntos que define la Regla de los Tercios, sino aquellas que desplazan los elementos ligeramente para que llamen la atención más al receptor. Para ello, se ha desarrollado la regla de la Simetría Dinámica, que está explicada en este artículo. Básicamente, consiste en trazar unas diagonales situadas en ángulo recto con las diagonales principales del encuadre para que salgan unos nuevos puntos de interés:

Los puntos resultantes de esta técnica son muy cercanos a los de la Regla de los Tercios pero al no ser tan "perfectos" y estables, llaman más la atención, generan más tensión visual y, por lo tanto, las imágenes que siguen esta regla de composición pueden resultar más atractivas visualmente.

power point

Entorno de Power Point

Barra de Herramientas de Power Point

Una tabla dinámica sirve para resumir los datos que hay en una hoja de cálculo. Lo mejor de todo es que puedes cambiarla fácil y rápidamente para ver los datos de una manera diferente, haciendo de ésta una herramienta muy poderosa.

Cómo crear una tabla dinámica

Las tablas dinámicas en Excel reciben su nombre por su capacidad de cambiar dinámicamente la información agrupada con tan solo rotar las columnas o filas de la tabla. En esta ocasión veremos un ejemplo claro de cómo crearlas.

Crear una tabla dinámica en Excel 2010

Haz clic sobre cualquier celda de la tabla de datos que se desea considerar en la nueva tabla dinámica.

 

Ahora selecciona el comando Tabla dinámica que se encuentra dentro del grupo Tablas de la ficha Insertar.

 

Se mostrará el cuadro de diálogo Crear tabla dinámica. Si es necesario podrás ajustar el rango de datos que se considerará en la tabla dinámica.

 

En este mismo cuadro de diálogo se puede elegir si se desea colocar la tabla dinámica en una nueva hoja de Excel o en una ya existente.  Haz clic en el botón Aceptar y se creará la nueva tabla dinámica.

 

Excel agregará en la parte izquierda del libro la tabla dinámica y en la parte derecha la lista de campos. Esta lista de campos está dividida en dos secciones, primero la lista de todos los campos de los cuales podremos elegir y por debajo una zona a donde arrastraremos los campos que darán forma al reporte ya sea como columna, fila, valor o como un filtro.
Para completar la tabla dinámica debemos arrastrar los campos al área correspondiente. Siguiendo el ejemplo propuesto del artículo anterior, colocaré como columna el campo Producto y como fila al campo Ciudad. Finalmente como valores colocaré el campo Ventas.

 

De manera predeterminada Excel aplica la función SUMA a los valores y la tabla dinámica que resulta después de hacer esta configuración es la siguiente:

 

Utilizando una tabla dinámica fue posible crear un reporte de una manera fácil y sin la necesidad de utilizar fórmulas. Pronto veremos cómo se pueden elaborar tablas dinámicas más complejas que permitirán realizar un análisis profundo de la información.

La función BUSCARV en Excel

La función BUSCARV en Excel nos permite buscar un valor dentro de un rango de datos, es decir, nos ayuda a obtener el valor de una tabla que coincide con el valor que estamos buscando. Un ejemplo sencillo que podemos resolver con la función BUSCARV es la búsqueda dentro de un directorio telefónico.
Si queremos tener éxito para encontrar el teléfono de una persona dentro del directorio telefónico de nuestra localidad debemos tener el nombre completo de la persona. Posteriormente habrá que buscar el nombre dentro del directorio telefónico para entonces obtener el número correcto.

Crear una tabla de búsqueda

Para poder utilizar la función BUSCARV debemos cumplir con algunas condiciones en nuestros datos. En primer lugar debemos tener la información organizada de manera vertical con los valores por debajo de cada columna. Esto es necesario porque la función BUSCARV recorre los datos de manera vertical (por eso la “V” en su nombre) hasta encontrar la coincidencia del valor que buscamos.
Por ejemplo, nuestro directorio telefónico debería estar organizado de la siguiente manera:

Otra condición que forzosamente debemos cumplir es que la primera columna de nuestros datos debe ser la columna llave, es decir, los valores de esa columna deben identificar de manera única a cada una de las filas de datos. En este ejemplo la columna Nombre servirá como la columna llave porque no hay dos personas que se llamen igual.
Algo que debemos cuidar con la tabla de búsqueda es que si existen otras tablas de datos en la misma hoja de Excel debes dejar al menos una fila en blanco por debajo y una columna en blanco a la derecha de la tabla donde se realizará la búsqueda. Una vez que la tabla de búsqueda está lista podemos utilizar la función BUSCARV.

Sintaxis de la función BUSCARV

La función BUSCARV tiene 4 argumentos:

• Valor_buscado (obligatorio): Este es el valor que se va a buscar en la primera columna de la tabla. Podemos colocar el texto encerrado en comillas o podemos colocar la referencia a una celda que contenga el valor buscado. Excel no hará diferencia entre mayúsculas y minúsculas.
• Matriz_buscar_en (obligatorio): La tabla de búsqueda que contiene todos los datos donde se tratará de encontrar la coincidencia del Valor_buscado.
• Indicador_columnas (obligatorio): Una vez que la función BUSCARV encuentre una coincidencia del Valor_buscado nos devolverá como resultado la columna que indiquemos en este argumento. El Indicador_columnas es el número de columna que deseamos obtener siendo la primera columna de la tabla la columna número 1.
• Ordenado (opcional): Este argumento debe ser un valor lógico, es decir, puede ser falso o verdadero. Con este argumento indicamos si la función BUSCARV realizará una búsqueda exacta (FALSO) o una búsqueda aproximada (VERDADERO). En caso de que se omita este argumento o que especifiquemos una búsqueda aproximada se recomienda que la primera columna de la tabla de búsqueda esté ordenada de manera ascendente para obtener los mejores resultados.

Ejemplo de la función BUSCARV

Para probar la función BUSCARV con nuestra tabla de búsqueda ejemplo que contiene información de números telefónicos seguimos los siguientes pasos:

1. En la celda E1 colocaré el valor que deseo buscar.
2. En la celda E2 comienzo a introducir la función BUSCARV de la siguiente manera:                   =BUSCARV(
3. Hago clic en la celda E1 para incluir la referencia de celda e introduzco una coma (,) para concluir con el primer argumento de la función: =BUSCARV(E1,
4. Para especificar el segundo argumentos debo seleccionar la tabla de datos sin incluir los títulos de columna. Para el ejemplo será el rango de datos A2:B11. Una vez especificada la matriz de búsqueda debo introducir una coma (,) para finalizar con el segundo argumento: =BUSCARV(E1,A2:B11,
5. Como tercer argumento colocaré el número 2 ya que quiero que la función BUSCARV me devuelva el número de teléfono de la persona indicada en la celda E1. Recuerda que la numeración de columnas empieza con el 1 y por lo tanto la columna Teléfono es la columna número 2. De igual manera finalizo el tercer argumento con una coma (,): =BUSCARV(E1,A2:B11,2,
6. Para el último argumento de la función especificaré el valor FALSO ya que deseo hacer una búsqueda exacta del nombre. =BUSCARV(E1,A2:B11,2,FALSO)

Observa el resultado de la función recién descrita:

 

Una ventaja de haber colocado el valor buscado en la celda E1 es que podemos modificar su valor para buscar el teléfono de otra persona y la función BUSCARV actualizará el resultado automáticamente.

Errores comunes al usar la función BUSCARV

• Si la columna llave no tiene valores únicos para cada fila entonces la función BUSCARV regresará el primer resultado encontrado que concuerde con el valor buscado.
• Si especificamos un indicador de columna mayor al número de columnas de la tabla obtendremos un error de tipo #REF!
• Si colocamos el indicador de columna igual a cero la función BUSCARV regresará un error de tipo #VALOR!
• Si configuramos la función BUSCARV para realizar una búsqueda exacta, pero no encuentra el valor buscado, entonces la función regresará un error de tipo #N/A.

La función BUSCARV es una de las funciones más importantes en Excel. Es necesario que dediques tiempo para aprender correctamente su uso y verás que podrás sacar mucho provecho de esta función.